$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。
この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\sqrt{11}}{4}$
$\dfrac{\sqrt{22}}{4}$
$\dfrac{\sqrt{34}}{8}$
$\dfrac{\sqrt{17}}{8}$
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると
${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分するので
$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ 2\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm OB}} }{1+2} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b} $
また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので
$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$
${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm AM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm OM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + \overrightarrow{{\rm CP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm CL}}\\[0.5em] & = & (1-s)\overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm OL}}\\[0.5em] & = & \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{a} + \dfrac{s}{3} \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
よって
$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} = \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{a} + \dfrac{s}{3} \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから
$1- t = \dfrac{2}{3}s~$, $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{s}{3} ~$, $~\dfrac{t}{2}= 1-s$
これを解くと $t= \dfrac{1}{2}$, $s = \dfrac{3}{4}$ となる。
よって
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c}$
${\rm OABC}$ は正四面体であるから
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1$
また
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =1\cdot 1\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$
に注意すると
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm OP}}|^2 & = & \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c} \right) \\[1em] & = & \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{16} + 2\cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{8} \right) = \dfrac{11}{16}\end{eqnarray*}$
よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{\sqrt{11}}{4}$ である。
$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $3:1$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。
この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\sqrt{34}}{7}$
$\dfrac{\sqrt{17}}{7}$
$\dfrac{2\sqrt{17}}{7}$
$\dfrac{2\sqrt{34}}{7}$
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると
${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $3:1$ に内分するので
$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm OA}} + 3\overrightarrow{{\rm OB}} }{3+1} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{b} $
また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので
$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$
${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm AM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm OM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + \overrightarrow{{\rm CP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm CL}}\\[0.5em] & = & (1-s)\overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm OL}}\\[0.5em] & = & \dfrac{s}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{4}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
よって
$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} = \dfrac{s}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{4}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから
$1- t = \dfrac{s}{4}~$, $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{3}{4}s ~$, $~\dfrac{t}{2}= 1-s$
これを解くと $t= \dfrac{6}{7}$, $s = \dfrac{4}{7}$ となる。
よって
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{b} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{c}$
${\rm OABC}$ は正四面体であるから
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1$
また
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =1\cdot 1\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$
に注意すると
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm OP}}|^2 & = & \left( \dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{b} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{b} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{c} \right) \\[1em] & = & \dfrac{1}{49} + \dfrac{9}{49} + \dfrac{9}{49} + 2\cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{3}{49} + \dfrac{9}{49} + \dfrac{3}{49} \right) = \dfrac{34}{49}\end{eqnarray*}$
よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{\sqrt{34}}{7}$ である。
$1$ 辺の長さが $2$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。
この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\sqrt{11}}{2}$
$\dfrac{\sqrt{11}}{4}$
$\dfrac{\sqrt{22}}{4}$
$\dfrac{\sqrt{22}}{2}$
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると
${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分するので
$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ 2\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm OB}} }{1+2} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b} $
また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので
$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$
${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm AM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm OM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + \overrightarrow{{\rm CP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm CL}}\\[0.5em] & = & (1-s)\overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm OL}}\\[0.5em] & = & \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{a} + \dfrac{s}{3} \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
よって
$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} = \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{a} + \dfrac{s}{3} \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから
$1- t = \dfrac{2}{3}s~$, $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{s}{3} ~$, $~\dfrac{t}{2}= 1-s$
これを解くと $t= \dfrac{1}{2}$, $s = \dfrac{3}{4}$ となる。
よって
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c}$
${\rm OABC}$ は正四面体であるから
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 2$
また
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =2\cdot 2\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = 2$
に注意すると
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm OP}}|^2 & = & \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c} \right) \\[1em] & = & 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + 2\cdot 2 \left( \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{8} \right) = \dfrac{11}{4}\end{eqnarray*}$
よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{\sqrt{11}}{2}$ である。
$1$ 辺の長さが $2$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $2:1$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。
この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{2\sqrt{17}}{5}$
$\dfrac{\sqrt{17}}{5}$
$\dfrac{2\sqrt{34}}{5}$
$\dfrac{\sqrt{34}}{5}$
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると
${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $2:1$ に内分するので
$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm OA}} + 2\overrightarrow{{\rm OB}} }{2+1} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b} $
また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので
$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$
${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm AM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm OM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + \overrightarrow{{\rm CP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm CL}}\\[0.5em] & = & (1-s)\overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm OL}}\\[0.5em] & = & \dfrac{s}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
よって
$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} = \dfrac{s}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから
$1- t = \dfrac{s}{3}~$, $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{2}{3}s ~$, $~\dfrac{t}{2}= 1-s$
これを解くと $t= \dfrac{4}{5}$, $s = \dfrac{3}{5}$ となる。
よって
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{b} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{c}$
${\rm OABC}$ は正四面体であるから
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 2$
また
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =2\cdot 2\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = 2$
に注意すると
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm OP}}|^2 & = & \left( \dfrac{1}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{b} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{b} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{c} \right) \\[1em] & = & \dfrac{4}{25} + \dfrac{16}{25} + \dfrac{16}{25} + 2\cdot 2 \left( \dfrac{2}{25} + \dfrac{4}{25} + \dfrac{2}{25} \right) = \dfrac{68}{25}\end{eqnarray*}$
よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{2\sqrt{17}}{5}$ である。