$2$ つの空間ベクトル $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3)$ の内積 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ は

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

となります。よって

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = 0\cdot(-3) + (-3)\cdot (-2) + 4\cdot 4 = 22$

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ とすると

$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{ |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$

が成り立ちます。よって

$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{ |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \dfrac{0+1 + 2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} }= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$0\leqq \theta \leqq \pi$ より $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ となります。

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを $\overrightarrow{n} = (x,y,z)$ とすると

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n} =-5x-5y= 0$

であるから $y = -x$ となります。また

$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{n} = -x-2y-2z = 0$

であるから $y=-x$ を代入すると

$z = \dfrac{-x-2y}{2} = \dfrac{x}{2}$

となります。よって

$\overrightarrow{n} = \left(x, -x, \dfrac{x}{2} \right)$

ここで $|\overrightarrow{n}|=1$ であるから

$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{x^2 + x^2 + \dfrac{x^2}{4} } = \dfrac{3}{2}|x|=1$

よって $x = \pm \dfrac{2}{3}$ となります。

以上から, 求めるベクトルは

$\left(\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)$ と $\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3}\right)$

となります。