III. 関数が極値をとるか調べよう
要点まとめ
- $f_x(a,b)= f_y(a,b)=0$ である時, 次の近似式が成り立つ。
$f(x,y) - f(a,b) \simeq \dfrac{1}{2} \left\{ h^2f_{xx}(a,b) + 2hkf_{xy}(a,b) + k^2f_{yy}(a,b) \right\}$
- 全微分可能な関数 $z=f(x,y)$ が $f_x(a,b) = f_y(a,b)=0$ である時, 次が成り立つ。
- $\left\{ f_{xy}(a,b)\right\}^2 -f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) \lt 0$ かつ $f_{xx}(a,b) \gt 0$ ならば, $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で極小値をとる。
- $\left\{ f_{xy}(a,b)\right\}^2 -f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) \lt 0$ かつ $f_{xx}(a,b) \lt 0$ ならば, $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で極大値をとる。
- $\left\{ f_{xy}(a,b)\right\}^2 -f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) \gt 0$ ならば, $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で極値をとらない。
- $\left\{ f_{xy}(a,b)\right\}^2 -f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) = 0$ ならば, この方法では極値をとるか分からない。
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