II. 2変数関数の極値とは?
要点まとめ
- $2$ 変数関数 $z=f(x,y)$ について, $(x,y) = (a,b)$ の十分近くの全ての点 $(x,y)$ で
- $f(a,b) \gt f(x,y)$ である時, $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で 極大 であるといい, $f(a,b)$ の値を 極大値 という。
- $f(a,b) \lt f(x,y)$ である時, $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で 極小 であるといい, $f(a,b)$ の値を 極小値 という。
- 全微分可能な $2$ 変数関数 $z=f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値をとるならば
$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$
が成り立つ。 - しかし, $f_x(a,b) = f_y(a,b)=0$ であっても, 点 $(a,b)$ で極値をとるとは限らないことに注意する。
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