次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} - (4x + 2) \right\}$
$0$
$1$
$4$
$2$
$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} - (4x+2) \right\}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} - (4x+2) \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }{\sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(16x^2+16x+3) - (4x+ 2)^2}{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-1}{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ - \dfrac{1}{x}}{ \sqrt{16 + \dfrac{16}{x} + \dfrac{3}{x^2} } + 4 + \dfrac{2}{x} }= 0 \end{aligned}$
よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\} = 0$ である。