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$3$ つのベクトル $\overrightarrow{a_1} = (211)$, $\overrightarrow{a_2} = (102)$, $\overrightarrow{a_3} = (011)$ に対し

$\overrightarrow{e_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|}$

$\overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{a_2} - \left( \overrightarrow{a_2} \cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}$

$\overrightarrow{e_2} = \dfrac{\overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_1}|}$

$\overrightarrow{v_3} = \overrightarrow{a_3} - \left( \overrightarrow{a_3} \cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1} - \left( \overrightarrow{a_3} \cdot \overrightarrow{e_2} \right) \overrightarrow{e_2}$

$\overrightarrow{e_3} = \dfrac{\overrightarrow{v_3}}{|\overrightarrow{v_3}|}$

と定める。

この時 $\overrightarrow{e_3}$ を以下の選択肢から選びなさい。

$\dfrac{1}{\sqrt{30}} (251)$

$\dfrac{1}{\sqrt{6}} (211)$

$\dfrac{1}{\sqrt{43}} (353)$

$\dfrac{1}{\sqrt{19}} (313)$

順に計算していくと

$\overrightarrow{e_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} (211)$

$v2=a2(a2e1)e1=(102)016(211)=(102)$

$\overrightarrow{e_2} = \dfrac{\overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_1}|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} (102)$

$v3=a3(a3e1)e1(a3e2)e2=(011)016(211)2515(102)=15(251)$

$\overrightarrow{e_3} = \dfrac{\overrightarrow{v_3}}{|\overrightarrow{v_3}|} = \dfrac{1}{\sqrt{30}} (251)$

よって $\overrightarrow{e_3} = \dfrac{1}{\sqrt{30}} (251)$ である。