$3$ つのベクトル $\overrightarrow{a_1} = (21−1)$, $\overrightarrow{a_2} = (102)$, $\overrightarrow{a_3} = (011)$ に対し
$\overrightarrow{e_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|}$
$\overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{a_2} - \left( \overrightarrow{a_2} \cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}$
$\overrightarrow{e_2} = \dfrac{\overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_1}|}$
$\overrightarrow{v_3} = \overrightarrow{a_3} - \left( \overrightarrow{a_3} \cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1} - \left( \overrightarrow{a_3} \cdot \overrightarrow{e_2} \right) \overrightarrow{e_2}$
$\overrightarrow{e_3} = \dfrac{\overrightarrow{v_3}}{|\overrightarrow{v_3}|}$
と定める。
この時 $\overrightarrow{e_3}$ を以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{30}} (−251)$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} (−211)$
$\dfrac{1}{\sqrt{43}} (353)$
$\dfrac{1}{\sqrt{19}} (313)$
順に計算していくと
$\overrightarrow{e_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} (21−1)$
$→v2=→a2−(→a2⋅→e1)→e1=(102)−0⋅1√6(21−1)=(102)$
$\overrightarrow{e_2} = \dfrac{\overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_1}|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} (102)$
$→v3=→a3−(→a3⋅→e1)→e1−(→a3⋅→e2)→e2=(011)−0⋅1√6(21−1)−2√5⋅1√5(102)=15(−251)$
$\overrightarrow{e_3} = \dfrac{\overrightarrow{v_3}}{|\overrightarrow{v_3}|} = \dfrac{1}{\sqrt{30}} (−251)$
よって $\overrightarrow{e_3} = \dfrac{1}{\sqrt{30}} (−251)$ である。