例えば $3$ 次の下三角行列の場合

$\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{22} & 0 \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & 0 & 0 \\ a_{21}b_{11}+ a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22}  & 0 \\ a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} & a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} & a_{33}b_{33} \end{pmatrix}$

となり, 下三角行列となっていることがわかる。

より一般に, $2$ つの $n$ 次上三角行列 $A$, $B$ の $(i,j)$ 成分をそれぞれ $a_{ij}$, $b_{ij}$ とすると, $AB$ の $(i,j)$ 成分は

$\displaystyle \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$

と表せる。また, $A$, $B$ は下三角行列であるから

$i \lt j$ ならば $a_{ij} = b_{ij} = 0$

であることに注意する。

$i \lt j$ の時, 各 $k = 1,2,\cdots n$ に対して

• $k \leqq i$ の時 $b_{kj} = 0$
• $i \lt k$ の時 $a_{ik}=0$

よって

$\displaystyle \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} & = & \sum_{k=1}^{i} a_{ik}b_{kj} + \sum_{k=i+1}^na_{ik}b_{kj}\\[1em] & = & 0+0=0 \end{eqnarray*}$

よって $AB$ の $(i,j)$ 成分は $0$ となり, $AB$ は下三角行列であることがわかる。