例えば $3$ 次の上三角行列の場合

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & b_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33} \\ 0 & a_{22}b_{22} & a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33} \\ 0 & 0 & a_{33}b_{33} \end{pmatrix}$

となり, 上三角行列となっていることがわかる。

より一般に, $2$ つの $n$ 次上三角行列 $A$, $B$ の $(i,j)$ 成分をそれぞれ $a_{ij}$, $b_{ij}$ とすると, $AB$ の $(i,j)$ 成分は

$\displaystyle \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$

と表せる。また, $A$, $B$ は上三角行列であるから

$j\lt i$ ならば $a_{ij} = b_{ij} = 0$

であることに注意する。

$j \lt i$ の時, 各 $k = 1,2,\cdots n$ に対して

• $k \leqq j$ の時 $a_{ik} = 0$
• $j \lt k$ の時 $b_{kj}=0$

よって

$\displaystyle \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} & = & \sum_{k=1}^{j} a_{ik}b_{kj} + \sum_{k=j+1}^na_{ik}b_{kj}\\[1em] & = & 0+0=0 \end{eqnarray*}$

よって $AB$ の $(i,j)$ 成分は $0$ となり, $AB$ は上三角行列であることがわかる。