順に計算していくと

$\overrightarrow{e_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} $$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ $

$ $$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{v_2} & = & \overrightarrow{a_2} - \left( \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} -\left( - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{2}{5}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$\overrightarrow{e_2} = \dfrac{\overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_2}|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} $$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $

よって $\overrightarrow{e_2} =  \dfrac{1}{\sqrt{5}} $$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $ である。

※注意

$\overrightarrow{v_2}$ の式に現れる

$\left( \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}$

は $\overrightarrow{a_2}$ の $\overrightarrow{a_1}$ 上への正射影ベクトルであることに注意する。