行列 $A = \begin{pmatrix} -10 & -8 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$ を対角化行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ で対角化した時、どのような対角行列になるか。最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$
$P = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ より
$P^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
である。よって $P$ で対角化すると
$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP & = & \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -10 & -8 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -16 \\ 2 & 12 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
となる。