$P =  $$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $ より

$P^{-1} = \dfrac{1}{3} $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $

である。よって $P$ で対角化すると

$ $$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP & = & \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & = &\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & -9 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となる。