行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ の $3$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -1 - \lambda & -2 & -2 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-1 - \lambda)(1 - \lambda)(2 - \lambda) + 0 + 0 - 0 - 0 \\[1em] & = & - (\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda - 2)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$ より
$\lambda_1 = -1$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = 2$
である。
$\lambda = -1$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2y - 2z \\ 2y \\ 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$y$ 成分と $z$ 成分から,
$y = z = 0$
よって
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。