$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -1 - \lambda & -2 & -2 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-1 - \lambda)(1 - \lambda)(2 - \lambda) + 0 + 0 - 0 - 0  \\[1em] & = &  - (\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda - 2)=0\end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$ より

$\lambda_1 = -1$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = 2$

である。

$\lambda = -1$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ $ とし

$\left( A + E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \left( A + E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2y - 2z \\ 2y \\ 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$y$ 成分と $z$ 成分から,

$y = z = 0$

よって

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ = x $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ ~(c\not=0)$ である。