$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} - \lambda & -2 & -1 \\ -1 & 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & -2 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & -\lambda(1 - \lambda)(-2 - \lambda) + 0 + 0 - 0 -2(-2 - \lambda) - 0  \\[1em] & = & -\lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda + 4 \\[1em] & = & -(\lambda + 1)(\lambda^2 - 4) \\[1em]& = & - (\lambda+1)(\lambda+2)(\lambda - 2)=0\end{eqnarray*}$

$\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$ より

$\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = -1$, $\lambda_3 = 2$

である。

$\lambda = -2$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とし

$\left( A + 2E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\begin{eqnarray*} \left( A + 2E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2x - 2y - z \\ -x + 3y \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$y$ 成分から,

$x = 3y$

$x$ 成分に代入すると

$z = 4y$

よって

$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3y \\ y \\ 4y \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。