$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & -1 \\ 2 & 2 - \lambda & 2 \\ -2 & 0 &  - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & -\lambda(1 - \lambda)(2 - \lambda) - 8 + 0 - 0 + 4\lambda - 2(2 - \lambda)  \\[1em] & = & -\lambda^3 + 3\lambda^2 + 4\lambda - 12 \\[1em] & = & -(\lambda - 3)(\lambda^2 - 4) \\[1em]& = & - (\lambda-3)(\lambda+2)(\lambda - 2)=0\end{eqnarray*}$

$\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$ より

$\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$

である。

$\lambda = -2$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とし

$\left( A + 2E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\begin{eqnarray*} \left( A + 2E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 2 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3x + 2y - z \\ 2x + 4y + 2z \\ -2x + 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$z$ 成分から,

$z = x$

$x$ 成分に代入すると

$y = - x$

よって

$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ - x \\ x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。