$|A - \lambda E| = 0$ とすると

$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 2 - \lambda & -2 & 0 \\ -2 & -1 - \lambda & 2 \\ 1 & 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (2 - \lambda)(-1 - \lambda)(1 - \lambda) -4+ 0 - 4(2 - \lambda) - 4(1 - \lambda) - 0\\[1em] & = & -\lambda^3 + 2\lambda^2 + 9\lambda - 18 \\[1em] & = & -(\lambda - 2)(\lambda^2 - 9) \\[1em]& = & - (\lambda-2)(\lambda+3)(\lambda - 3)=0\end{eqnarray*}$

$\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \lambda_3$ より

$\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$

である。

$\lambda = -3$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とし

$\left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\begin{eqnarray*} \left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 5 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 5x - 2y \\ -2x + 2y + 2z \\ x + 2y + 4z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$x$ 成分から,

$y = \dfrac{5}{2}x$

$y$ 成分に代入すると

$z = -\dfrac{3}{2}x$

よって

$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ \dfrac{5}{2}x \\ -\dfrac{3}{2}x \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} x\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。