点 $(x,y)$ の像を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 3x + 2y \\ -x - y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ とすると

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} x' + 2y' \\ - x' - 3y' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $f$ の逆変換は

$f^{-1} : (x,y) \mapsto (x + 2y , - x - 3y)$

である。