点 $(x,y)$ の像を $(x',y')$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 2x + 3y \\ -x - 2y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって $A =  $$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ $ とすると

$A^{-1} =  $$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ $

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = &  \begin{pmatrix} 2x' + 3y' \\ -x' -2y' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって $f$ の逆変換は

$f^{-1} : (x,y) \mapsto (2x + 3y , -x - 2y)$

である。