線形変換
$f:(x,y)\mapsto (2x + 3y,-x - 2y)$
の逆変換として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$f^{-1} : (x,y) \mapsto (2x + 3y , -x - 2y)$
$f^{-1} : (x,y) \mapsto (-2x - 3y , x + 2y)$
$f^{-1} : (x,y) \mapsto (-2x + 3y , -x + 2y)$
$f^{-1} : (x,y) \mapsto (2x - 3y , x - 2y)$
点 $(x,y)$ の像を $(x',y')$ とすると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 2x + 3y \\ -x - 2y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ とすると
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2x' + 3y' \\ -x' -2y' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $f$ の逆変換は
$f^{-1} : (x,y) \mapsto (2x + 3y , -x - 2y)$
である。