点 $(x,y)$ の像を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -2x + y \\ 3x - 2y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ とすると

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = &  \begin{pmatrix} -2x' - y' \\ -3x' - 2y' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $f$ の逆変換は

$f^{-1} : (x,y) \mapsto (-2x - y , -3x - 2y)$

である。