点 $(x,y)$ の$f$ による像を $(x',y')$ とすると

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -4 & 12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

であり, $\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -4 & 12 \end{pmatrix}$ は正則であるから

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -4 & 12 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

が成り立つ。すなわち平面上の任意の点 $(x',y')$ に対し, 点 $(x,y)$ を

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -4 & 12 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

と定めれば, $(x,y)$ の $f$ による像は

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -4 & 12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -4 & 12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -4 & 12 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって平面上の任意の点 $(x',y')$ は $f$ による平面全体の像に含まれる。

以上から, $f$ による平面全体の像は平面全体である。