点 $(x,y)$ の$f$ による像を $(x',y')$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 6x + 4y \\ -3x - 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから

$y' = -\dfrac{1}{2}x'$

であることがわかる。

また直線 $y = -\dfrac{1}{2}x$ 上の任意の点 $\left(p~, -\dfrac{1}{2}p \right)$ に対し, 点 $\left(0~,\dfrac{1}{4}p \right)$ を考えると, $\left(0~,\dfrac{1}{4}p \right)$ の $f$ による像は

$ $$\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 0\\ \dfrac{1}{4}p \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} p \\ - \dfrac{1}{2}p \end{pmatrix}$$ $

となるので, 点 $\left(p~, -\dfrac{1}{2}p \right)$ は $f$ による平面全体の像に含まれる。

以上から, $f$ による平面全体の像は直線 $y = -\dfrac{1}{2}x$ である。