点 $(x,y)$ の$f$ による像を $(x',y')$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3x+y \\ 9x+3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

ここから

$y' = 3x'$

であることがわかる。

また直線 $y = 3x$ 上の任意の点 $(p, 3p)$ に対し, 点 $(0,p)$ を考えると, $(0,p)$ の $f$ による像は

$ $$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 0\\ p \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} p \\ 3p \end{pmatrix}$$ $

となるので, 点 $(p,3p)$ は $f$ による平面全体の像に含まれる。

以上から, $f$ による平面全体の像は直線 $y = 3x$ である。