与えられた線形変換による, 点 $(3 + 4t , 4 + 5t )$ の像を $(x',y')$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 + 4t \\ 4 + 5t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 13 + 16t \\ 19 + 24t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって

$\left\{ $$\begin{aligned} x' &= 13 + 16t \\ y' &= 19 + 24t \end{aligned}$$ \right.$

が成り立つ。この式から $t$ を消去すると

$3x' - 2y' = 1$

両辺を $2$ で割り整理すれば, 像の方程式は $3x - 2y - 1 = 0$ である。