点 ${\rm P}(x,y)$ と ${\rm P'}(x',y')$ は直線 $y = x$ に関して対称なので

• 点 ${\rm P}$ と ${\rm P'}$ の中点は, 直線 $y = x$ 上にあり,
• ベクトル $\overrightarrow{{\rm PP'}} = \begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \end{pmatrix}$ は, 直線 $y = x$ の方向ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}$ と直交している。

よって

$\dfrac{x+x'}{2} = \dfrac{y+ y'}{2}$

かつ

$(x'-x) + (y'-y) = 0$

この $2$ つの式から

$\left\{ \begin{aligned} x' &= y \\ y' &= x \end{aligned} \right.$

が成り立つことがわかる。

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって, この線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ である。