3
平面上の点 ${\rm P}$ を, ${\rm P}$ と原点に関して対称な点 ${\rm P'}$ に対応させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y)$ と ${\rm P'}(x',y')$ は, 原点に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -x \\ y' &= -y \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって, この線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ である。