以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (-2,-2,0)$, $\overrightarrow{y} = (3,-2,1)$, $\overrightarrow{z} = (2,4,-1)$, $\overrightarrow{p} = (-5,-4,1)$
$-2$
$2$
$1$
$-1$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (-2a + 3b + 2c , -2a - 2b + 4c , b - c )$
より
$\left\{ \begin{aligned} -2a + 3b + 2c &= -5 ~~\cdots({\rm i})\\ -2a -2b + 4c &= -4 ~~\cdots({\rm ii})\\ b - c &= 1 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$
$({\rm iii}) $ より
$c = b-1$
$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ に代入し整理すると
$\left\{ \begin{aligned} -2a + 5b & = -3 \\ -2a + 2b &= 0 \end{aligned} \right.$
これを解くと $a = -1$, $b = -1$ であり, $c = b-1 = -2$ である。