以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $b$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (3,3,1)$, $\overrightarrow{y} = (2,-4,-5)$, $\overrightarrow{z} = (-2,2,4)$, $\overrightarrow{p} = (-3,3,2)$
$-3$
$3$
$1$
$-1$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (3a + 2b - 2c , 3a - 4b + 2c , a -5b + 4c )$
より
$\left\{ \begin{aligned} 3a + 2b - 2c &= -3 ~~\cdots({\rm i})\\ 3a - 4b + 2c &= 3 ~~\cdots({\rm ii})\\ a -5b + 4c &= 2 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$
$({\rm i}) + ({\rm ii}) $ より
$6a-2b=0$
よって $b = 3a$ である。$({\rm i})$ と $({\rm iii})$ に代入し整理すると
$\left\{ \begin{aligned} 9a - 2c & = -3 \\ -7a + 2c &= 1 \end{aligned} \right.$
これを解くと $a = -1$, $c = -3$ であり, $b = 3a = -3$ である。