以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (-5,0,1)$, $\overrightarrow{y} = (-4,4,-5)$, $\overrightarrow{z} = (-2,-3,4)$, $\overrightarrow{p} = (2,-2,-5)$
$-10$
$10$
$7$
$-7$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (-5a - 4b - 2c , 4b - 3c , a - 5b + 4c )$
より
$\left\{ \begin{aligned} -5a - 4b - 2c &= 2 ~~\cdots({\rm i})\\ 4b - 3c &= -2 ~~\cdots({\rm ii})\\ a - 5b + 4c &= -5 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$
$({\rm i}) + ({\rm iii}) $ より
$-5a - 5c = 0$
よって $a = -c$ である、これを $({\rm iii})$ に代入し整理すると
$-5b + 3c = -5~~\cdots ({\rm iv})$
$({\rm ii}) + ({\rm iv})$ より
$-b = -7$
$b=7$ であり, $({\rm iv})$ に代入すると
$3c = 5b-5 = 30$
$c=10$ であり $a=-c = -10$ となる。