次のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し, $\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$ と表した時の $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (6,-11,-3)$, $\overrightarrow{y} = (-14,5,4)$, $\overrightarrow{z} = (3,-2,-1)$, $\overrightarrow{p} = (1,7,1)$
$2$
$3$
$-5$
$-4$
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{p}$
とした時, 上の式を行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} 6 & -14 & 3 \\ -11 & 5 & -2 \\ -3 & 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}$
となる。
$A = \begin{pmatrix} 6 & -14 & 3 \\ -11 & 5 & -2 \\ -3 & 4 & -1 \end{pmatrix}$
とすると
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 13 \\ -5 & 3 & -21 \\ -29 & 18 & -124 \end{pmatrix}$
である。$A^{-1}$ を左から掛ければ
$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 13 \\ -5 & 3 & -21 \\ -29 & 18 & -124 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -27 \end{pmatrix}$
よって $a = 2$ である。