行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $-3$ である時, 次の行列 $B$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$B = \begin{pmatrix} a_{32} & a_{33} & a_{31} \\ a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{22} & a_{23} & a_{21} \end{pmatrix}$
$-3$
$3$
$1$
$0$
$2$ つの行や列を入れ換えると符号が変わるので
$\begin{eqnarray*} |B| & = & \begin{vmatrix} a_{32} & a_{33} & a_{31} \\ a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{22} & a_{23} & a_{21} \end{vmatrix}\\[1em] & = & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{32} & a_{33} & a_{31} \\ a_{22} & a_{23} & a_{21} \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{22} & a_{23} & a_{21} \\ a_{32} & a_{33} & a_{31} \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{12} \\ a_{21} & a_{23} & a_{22} \\ a_{31} & a_{33} & a_{32} \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & |A| = -3 \end{eqnarray*}$
よって $|B| = -3$ である。