$2$ つの列を入れ換えると符号が変わるので

$ $$\begin{eqnarray*} |B| & = & \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{22} & a_{23} & a_{21} \\ a_{32} & a_{33} & a_{31} \end{vmatrix}\\[1em] & = & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{12} \\ a_{21} & a_{23} & a_{22} \\ a_{31} & a_{33} & a_{32} \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & |A| = -2 \end{eqnarray*}$$ $

よって $|B| = -2$ である。