$L = $$\begin{pmatrix} l_{11} & 0 \\ l_{21} & l_{22} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{eqnarray*} L~{}^t\! L & = & \begin{pmatrix} l_{11} & 0 \\ l_{21} & l_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} l_{11} & l_{21} \\ 0 & l_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} l_{11}^2 & l_{11}l_{21} \\ l_{11}l_{21} & l_{21}^2 + l_{22}^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$A =L~{}^t\! L$ であるから

$ $$\begin{pmatrix}  6 & 2\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} & 6 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} l_{11}^2 & l_{11}l_{21} \\ l_{11}l_{21} & l_{21}^2 + l_{22}^2 \end{pmatrix}$$ $

これを解くと（対角成分は正であるから）

$l_{11} = \sqrt{6}$, $l_{21} = \sqrt{2}$, $l_{22} = 2$

となる。よって

$L = $$\begin{pmatrix}  \sqrt{6} & 0 \\ \sqrt{2} & 2 \end{pmatrix}$$ $

である。