対称行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$ を下三角行列 $L$ を用いて
$A = L~{}^t\! L$
と表したい。この時, $L$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
ただし, $L$ の対角成分は全て正であるとする。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$
$L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 \\ l_{21} & l_{22} \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{eqnarray*} L~{}^t\! L & = & \begin{pmatrix} l_{11} & 0 \\ l_{21} & l_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} l_{11} & l_{21} \\ 0 & l_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} l_{11}^2 & l_{11}l_{21} \\ l_{11}l_{21} & l_{21}^2 + l_{22}^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$A =L~{}^t\! L$ であるから
$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_{11}^2 & l_{11}l_{21} \\ l_{11}l_{21} & l_{21}^2 + l_{22}^2 \end{pmatrix}$
これを解くと（対角成分は正であるから）
$l_{11} = 1$, $l_{21} = -1$, $l_{22} = 2$
となる。よって
$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
である。