$A = LU$ より

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}& =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

両辺の $1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 1,~~u_{12} = 1$

$(2,1)$ 成分に代入すると

$l_{21} = 1$

これらを $(2,2)$ 成分に代入すると

$1 = 1 + u_{22}$

よって $u_{22} = 0$ である。