$A = LU$ より

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}& =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

両辺の $1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 3,~~u_{12} = 2$

$(2,1)$ 成分に代入すると

$l_{21} = -\dfrac{2}{3}$

これらを $(2,2)$ 成分に代入すると

$5 = -\dfrac{4}{3} + u_{22}$

よって $u_{22} = \dfrac{19}{3}$ である。