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行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ を下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{22}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$5$
$-1$
$-5$
$1$
$A = LU$ より
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}& =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
両辺の $1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = 3$
$(2,1)$ 成分に代入すると
$l_{21} = -1$
これらを $(2,2)$ 成分に代入すると
$2 = -3 + u_{22}$
よって $u_{22} = 5$ である。