対角成分より下の成分が全て $0$ である行列が上三角行列であり, 

対角成分より上の成分が全て $0$ である行列が下三角行列である。

上三角行列かつ下三角行列であれば, 対角成分以外の成分が全て $0$ であるから, それは対角行列である。