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次の主張の真偽を判定しなさい。
一般に, 行列 $A$ が交代行列ならば, 全ての自然数 $n$ に対し $A^n$ も交代行列である。
正しくない。
正しい。
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
とすると
${}^t A= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -A$
より $A$ は交代行列である。しかし
$\begin{eqnarray*}A^2 & = & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
であり, これは交代行列ではない。
よって主張は正しくない。