転置操作の性質 01 | アドウィンテクノ塾

次の主張の真偽を判定しなさい。

一般に, 行列 $A$ が対称行列ならば, 全ての自然数 $n$ に対し $A^n$ も対称行列である。

正しい。

正しくない。

$A$ が対称行列であれば ${}^tA =A$ であるので, $n$ を自然数とすると

$ $\begin{eqnarray*} {}^t(A^n) & = & {}^t(AA\cdots A)\\[1em] & = & ({}^tA)({}^tA)\cdots ({}^tA)\\[1em] & = & AA\cdots A= A^n \end{eqnarray*}$ $

より $A^n$ も対称行列である。