$A^n =  $$\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$$ $

とすると

$A = $$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ $

より

$a_1 = d_1 = -2,~~b_1=c_1 = 1$

であり, また

$ $$\begin{eqnarray*} A^{n+1} & = & A^nA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2a_n + b_n & a_n - 2 b_n \\ -2c_n + d_n & c_n - 2 d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} -2a_n + b_n & a_n - 2 b_n \\ -2c_n + d_n & c_n - 2 d_n \end{pmatrix}$$ $

が成り立つ。すると

$a_{n+1} + b_{n+1} = - (a_n + b_n)$

かつ $a_1 + b_1 = -1$ であるから

$a_{n} + b_{n} = (-1)^n~~~\cdots (1)$

であり, また

$a_{n+1} - b_{n+1} = -3(a_n - b_n)$

かつ $a_1 - b_1 = -3$ であるから

$a_n - b_n = (-3)^n~~~\cdots (2)$

が成り立つ。$(1)$ と $(2)$ を加えると

$2a_n = (-1)^n + (-3)^n$

よって

$a_n  = \dfrac{ (-1)^n + (-3)^n }{2}$ 

より $A^n$ の $(1,1)$ 成分は $\dfrac{ (-1)^n + (-3)^n }{2}$ である。