$A^n =  $$\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$$ $

とすると

$A = $$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $

より

$a_1 = d_1 = 1,~~b_1=c_1 = -1$

であり, また

$ $$\begin{eqnarray*} A^{n+1} & = & A^nA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n - b_n & -a_n + b_n \\ c_n - d_n & -c_n + d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} a_n - b_n & -a_n + b_n \\ c_n - d_n & -c_n + d_n \end{pmatrix}$$ $

が成り立つ。すると

$a_{n+1} + b_{n+1} = 0$

かつ $a_1 + b_1 = 0$ であるから

$a_{n} + b_{n} = 0~~~\cdots (1)$

であり, また

$a_{n+1} - b_{n+1} = 2(a_n - b_n)$

かつ $a_1 - b_1 = 2$ であるから

$a_n - b_n = 2^n~~~\cdots (2)$

が成り立つ。$(1)$ と $(2)$ を加えると

$2a_n = 2^n$

よって

$a_n  = 2^{n-1}$ 

より $A^n$ の $(1,1)$ 成分は $2^{n-1}$ である。