$A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$

とすると

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

より

$a_1 = d_1 = 1,~~b_1=c_1 =2$

であり, また

$\begin{eqnarray*} A^{n+1} & = & A^nA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n + 2b_n & 2a_n + b_n \\ c_n + 2d_n & 2c_n + d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n + 2b_n & 2a_n + b_n \\ c_n + 2d_n & 2c_n + d_n \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$a_{n+1} + b_{n+1} = 3(a_n + b_n)$

かつ $a_1 + b_1 = 3$ であるから

$a_{n} + b_{n} = 3^n~~~\cdots (1)$

であり, また

$a_{n+1} - b_{n+1} = -(a_n - b_n)$

かつ $a_1 - b_1 = -1$ であるから

$a_n - b_n = (-1)^n~~~\cdots (2)$

が成り立つ。$(1)$ と $(2)$ を加えると

$2a_n = 3^n + (-1)^n$

よって

$a_n  = \dfrac{3^n + (-1)^n}{2}$ 

より $A^n$ の $(1,1)$ 成分は $\dfrac{3^n + (-1)^n}{2}$ である。