$A^2 =  $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

$A^3 =  $$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

$A^4 =  $$\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

より

$A^n =  $$\begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

と予想できる。これを $n$ に関する数学的帰納法で証明する。

$n=1$ の時

$A =  $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

より主張が成り立つ。

$n=k$ の時, 主張が成り立つと仮定すると

$A^k =  $$\begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

が成り立つ。この時

$ $$\begin{eqnarray*}A^{k+1} & = & A^kA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 + 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = &   \begin{pmatrix} 1 & 2(k+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって $n=k+1$ の時も主張が成り立つ。以上から

$A^n =  $$\begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

であるので, その $(1,1)$ 成分は $1$ である。