行列のべき 08 | アドウィンテクノ塾

次の行列 $A$ に対し $A^4$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$A = $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ $

$ $\begin{pmatrix} -18 & 3 \\ -6 & -17 \end{pmatrix}$ $

$ $\begin{pmatrix} -6 & -3 \\ 10 & -7 \end{pmatrix}$ $

$ $\begin{pmatrix} 16 & 1 \\ 16 & 1 \end{pmatrix}$ $

$ $\begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 37 \end{pmatrix}$ $

定義に従って計算すると

$ $\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2-2 & -2-1 \\ 4+2 & -2+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$ $

よって

$ $\begin{eqnarray*} A^4 & = & A^2A^2 \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0-18 & 0+3 \\ 0-6 & -18+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -18 & 3 \\ -6 & -17 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$ $