$1$ 辺の長さが $2$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $2:1$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。
この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{2\sqrt{17}}{5}$
$\dfrac{\sqrt{17}}{5}$
$\dfrac{2\sqrt{34}}{5}$
$\dfrac{\sqrt{34}}{5}$
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると
${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $2:1$ に内分するので
$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm OA}} + 2\overrightarrow{{\rm OB}} }{2+1} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b} $
また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので
$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$
${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので
$→OP=→OA+→AP=→OA+t→AM=(1−t)→OA+t→OM=(1−t)→a+t2→b+t2→c$
同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので
$→OP=→OC+→CP=→OC+s→CL=(1−s)→OC+s→OL=s3→a+23s→b+(1−s)→c$
よって
$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} = \dfrac{s}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから
$1- t = \dfrac{s}{3}~$, $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{2}{3}s ~$, $~\dfrac{t}{2}= 1-s$
これを解くと $t= \dfrac{4}{5}$, $s = \dfrac{3}{5}$ となる。
よって
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{b} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{c}$
${\rm OABC}$ は正四面体であるから
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 2$
また
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =2\cdot 2\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = 2$
に注意すると
$|→OP|2=(15→a+25→b+25→c)⋅(15→a+25→b+25→c)=425+1625+1625+2⋅2(225+425+225)=6825$
よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{2\sqrt{17}}{5}$ である。