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次の $2$ つの直線が垂直になるような $k$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$l_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= -1 + 2t \\ y &= -2 - 3t \\ z &= 3 + 2t \end{aligned} \right.~~~~~l_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= 3 + kt \\ y &= 5 - 5t \\ z &= -5 + 6t \end{aligned} \right.$
$-\dfrac{27}{2}$
$\dfrac{27}{2}$
$-\dfrac{3}{2}$
$\dfrac{3}{2}$
$\overrightarrow{v_1} = (2,-3,2)$ , $\overrightarrow{v_2} = ( k , -5 , 6 )$ とすると $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ はそれぞれ $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルである。
$l_1$ と $l_2$ が垂直である時, 方向ベクトルも垂直であるから
$\overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{v_2} = 0$
が成り立つ。よって
$2k + 15 + 12 = 0$
より $k = -\dfrac{27}{2}$ である。