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次の $2$ つの直線が垂直になるような $k$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$l_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= 2 + 5t \\ y &= 2 + t \\ z &= 4 + 4t \end{aligned} \right.~~~~~l_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= 5 + 2t \\ y &= 3 - t \\ z &= 5 + kt \end{aligned} \right.$
$-\dfrac{9}{4}$
$\dfrac{9}{4}$
$-3$
$3$
$\overrightarrow{v_1} = (5,1,4)$ , $\overrightarrow{v_2} = ( 2 , -1 , k )$ とすると $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ はそれぞれ $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルである。
$l_1$ と $l_2$ が垂直である時, 方向ベクトルも垂直であるから
$\overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{v_2} = 0$
が成り立つ。よって
$10 - 1 + 4k = 0$
より $k = -\dfrac{9}{4}$ である。