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次の $2$ つの直線が垂直になるような $k$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$l_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= -2 + 3t \\ y &= 3 + t \\ z &= -4 + t \end{aligned} \right.~~~~~l_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= 1 + kt \\ y &= - 2t \\ z &= 3 +4t \end{aligned} \right.$
$-\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{2}{3}$
$2$
$-2$
$\overrightarrow{v_1} = (3,1,1)$ , $\overrightarrow{v_2} = ( k , -2 , 4 )$ とすると $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ はそれぞれ $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルである。
$l_1$ と $l_2$ が垂直である時, 方向ベクトルも垂直であるから
$\overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{v_2} = 0$
が成り立つ。よって
$3k - 2 + 4 = 0$
より $k = -\dfrac{2}{3}$ である。