次の $2$ つの直線が平行になるような $a$ と $b$ の値の組として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$l_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= 5 -4t \\ y &= 2 + 2t \\ z &= 6 + at \end{aligned} \right.~~~~~l_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= -1 + bt \\ y &= - 1 - \dfrac{1}{2}t \\ z &= 2 - 2t \end{aligned} \right.$
$a = 8$, $~b = 1$
$a = \dfrac{1}{2}$, $~b = 16$
$a = \dfrac{1}{2}$, $~b = 1$
$a = 8$, $~b = 16$
$\overrightarrow{v_1} = (-4,2,a)$ , $\overrightarrow{v_2} = \left(b,-\dfrac{1}{2},-2\right)$ とすると $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ はそれぞれ $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルである。
$l_1$ と $l_2$ が平行である時, 方向ベクトルも平行であるから
$\overrightarrow{v_1} = k\overrightarrow{v_2}$
となる $k$ が存在する。 $y$ 成分を比べると
$2 = -\dfrac{1}{2}k$
より $k = -4$ となる。よって $x$ 成分の値から
$-4 = -4b$
より $b=1$ であり, また $z$ 成分の値から
$a = -4\cdot (-2) = 8$
である。