次の $2$ つの直線が平行になるような $a$ と $b$ の値の組として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$l_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= 3 + 4t \\ y &= 3 + 5t \\ z &= 5 + at \end{aligned} \right.~~~~~l_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= -2t \\ y &= 2 + bt \\ z &= 3 + \dfrac{3}{2}t \end{aligned} \right.$
$a = -3$, $~b = -\dfrac{5}{2}$
$a = -\dfrac{3}{4}$, $~b = -10$
$a = -3$, $~b = -10$
$a = -\dfrac{3}{4}$, $~b = -\dfrac{5}{2}$
$\overrightarrow{v_1} = (4,5,a)$ , $\overrightarrow{v_2} = \left(-2,b,\dfrac{3}{2} \right)$ とすると $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ はそれぞれ $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルである。
$l_1$ と $l_2$ が平行である時, 方向ベクトルも平行であるから
$\overrightarrow{v_1} = k\overrightarrow{v_2}$
となる $k$ が存在する。 $x$ 成分を比べると
$4 = -2k$
より $k = -2$ となる。よって $y$ 成分の値から
$5 = -2b$
より $b=-\dfrac{5}{2}$ であり, また $z$ 成分の値から
$a = -2\cdot \dfrac{3}{2} = -3$
である。