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次の $2$ つの直線が平行になるような $a$ と $b$ の値の組として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$l_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= 4 + at \\ y &= 3 + 6t \\ z &= 2 -2t \end{aligned} \right.~~~~~l_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= 3 - 6t \\ y &= 5 + bt \\ z &= 3 + 3t \end{aligned} \right.$
$a = 4$, $~b = - 9$
$a = - 11$, $~b = 11$
$a = 7$, $~b = - 5$
$a = - 3$, $~b = 8$
$\overrightarrow{v_1} = (a,6,-2)$ , $\overrightarrow{v_2} = (-6,b,3)$ とすると $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ はそれぞれ $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルである。
$l_1$ と $l_2$ が平行である時, 方向ベクトルも平行であるから
$\overrightarrow{v_1} = k\overrightarrow{v_2}$
となる $k$ が存在する。 $z$ 成分を比べると
$-2 = 3k$
より $k = -\dfrac{2}{3}$ となる。よって $x$ 成分の値から
$a = -\dfrac{2}{3}\cdot (-6) = 4$
であり, また $y$ 成分の値から
$6 = -\dfrac{2}{3}b$
より, $b = -9$ である。